La forma matemática recién descubierta de 'Einstein' crea un nunca

Una nueva forma llamada einstein ha conquistado el mundo de las matemáticas. El mosaico escarpado con forma de sombrero puede cubrir un plano infinito con patrones que nunca se repiten.

Colocar mosaicos de forma creativa en el piso de un baño no es solo una tarea estresante para los renovadores de casas de bricolaje. También es uno de los problemas más difíciles en matemáticas. Durante siglos, los expertos han estado estudiando las propiedades especiales de las formas de los azulejos que pueden cubrir pisos, salpicaderos de cocinas o planos infinitamente grandes sin dejar espacios. Específicamente, los matemáticos están interesados ​​en formas de mosaicos que puedan cubrir todo el plano sin crear nunca un diseño repetitivo. En estos casos especiales, llamados mosaicos aperiódicos, no hay un patrón que pueda copiar y pegar para mantener el mosaico en marcha. No importa cómo cortes el mosaico, cada sección será única.

Hasta ahora, los mosaicos aperiódicos siempre requerían al menos dos mosaicos de diferentes formas. Muchos matemáticos ya habían perdido la esperanza de encontrar una solución con una ficha, llamada la escurridiza ficha "einstein", que recibe su nombre de las palabras alemanas para "una piedra".

Luego, en noviembre pasado, el ingeniero de sistemas de impresión jubilado David Smith de Yorkshire, Inglaterra, tuvo un gran avance. Descubrió una forma escarpada de 13 lados que creía que podría ser un mosaico de Einstein. Cuando le contó a Craig Kaplan, científico informático de la Universidad de Waterloo en Ontario, Kaplan reconoció rápidamente el potencial de la forma. Junto con el desarrollador de software Joseph Samuel Myers y el matemático Chaim Goodman-Strauss de la Universidad de Arkansas, Kaplan demostró que la baldosa singular de Smith pavimenta el plano sin espacios ni repeticiones. Aún mejor, encontraron que Smith había descubierto no solo uno, sino un número infinito de mosaicos de Einstein. El equipo informó recientemente sus resultados en un documento que se publicó en el servidor de preimpresión arXiv.org y aún no ha sido revisado por pares.

Cualquiera que haya caminado por los impresionantes pasillos de mosaicos del palacio de la Alhambra en Granada, España, conoce el arte involucrado en embaldosar un avión. Pero tal belleza alberga preguntas sin respuesta, que son, como afirmó el matemático Robert Berger en 1966, demostrablemente indemostrables.

Suponga que desea enlosar una superficie infinita con un número infinito de mosaicos cuadrados. Sin embargo, debe seguir una regla: los bordes de las fichas están coloreados y solo los bordes del mismo color pueden tocarse.

Con fichas infinitas, comienzas a colocar piezas. Encuentras una estrategia que crees que va a funcionar, pero en algún momento te encuentras con un callejón sin salida. Hay un espacio que simplemente no puede llenar con los mosaicos que tiene disponibles, y se ve obligado a colocar bordes que no coinciden uno al lado del otro. Juego terminado.

Pero ciertamente, si tuviera el azulejo correcto con la combinación de colores correcta, podría haber salido de su pepinillo. Por ejemplo, tal vez solo necesitaba un mosaico en el que todos los bordes fueran del mismo color. Un matemático miraría tu juego y preguntaría: "¿Puedes determinar si llegarás a un callejón sin salida simplemente mirando los tipos de fichas de colores que te dieron al principio? Esto sin duda te ahorraría mucho tiempo".

La respuesta, encontró Berger, es no. Siempre habrá casos en los que no pueda predecir si podrá cubrir la superficie sin espacios. El culpable: la naturaleza impredecible y no repetitiva de las teselaciones aperiódicas. En su trabajo, Berger encontró un conjunto increíblemente grande de 20.426 mosaicos de diferentes colores que pueden pavimentar un plano sin que el patrón de color se repita. Y aún mejor, es físicamente imposible formar un patrón repetitivo con ese conjunto de mosaicos, sin importar cómo los coloque.

Este descubrimiento planteó otra pregunta que ha perseguido a los matemáticos desde entonces: ¿Cuál es el número mínimo de formas de baldosas que juntas pueden crear una teselación aperiódica?

En las décadas siguientes, los matemáticos encontraron conjuntos de mosaicos cada vez más pequeños que pueden crear mosaicos aperiódicos. Primero, Berger encontró uno con 104 mosaicos diferentes. Luego, en 1968, el científico informático Donald Knuth encontró un ejemplo con 92. Un año después, el matemático Rafael Robinson encontró una variante con solo seis tipos de mosaicos y, finalmente, en 1974, el físico Roger Penrose presentó una solución con solo dos mosaicos.

Entonces el progreso se estancó. Desde entonces, muchos matemáticos han buscado la solución de un solo mosaico, el "einstein", pero ninguno lo ha logrado, incluido Penrose, quien finalmente centró su atención en otros acertijos. Pero David Smith, el jubilado de 64 años, no se dio por vencido. Le gustaba jugar con PolyForm Puzzle Solver, una pieza de software que permite a los usuarios diseñar y ensamblar mosaicos, según el New York Times. Si una forma parecía prometedora, Smith cortaba varias piezas de rompecabezas de papel para experimentar. Luego, en noviembre de 2022, se encontró con el ahora famoso mosaico al que llamó "sombrero" debido a su forma de sombrero de copa, aunque Kaplan enfatiza que muchos piensan que se parece más a una camiseta.

Cuando Kaplan recibió un correo electrónico de Smith con el "sombrero", rápidamente despertó su interés. Con la ayuda del software, alineó más y más mosaicos con forma de sombrero, y parecía que realmente podrían cubrir el plano sin formar un patrón repetitivo.

Pero tal patrón repetitivo aún podría revelarse si siguiera colocando mosaicos; tal vez una parte redundante solo aparecería una vez que el avión tuviera varios años luz de largo. Los investigadores necesitaban demostrar matemáticamente que el mosaico era aperiódico. Kaplan recurrió a Myers y Goodman-Strauss, quienes habían trabajado extensamente con mosaicos en el pasado.

Al principio, quedaron asombrados por la simplicidad de la teja de einstein potencial porque el "sombrero" tiene una forma bastante simple de 13 lados. Si le hubieras preguntado antes a Goodman-Strauss cómo se vería un escurridizo mosaico de Einstein, "habría dibujado algo loco, ondulado y desagradable", dijo a Science News. Y a medida que los matemáticos observaron más de cerca la forma, se dieron cuenta de que podían jugar con las longitudes de los lados y aun así crear un mosaico aperiódico sin costuras. Esta única forma había abierto la puerta a un número infinito de fichas de einstein.

Los matemáticos necesitaban pruebas contundentes para respaldar sus afirmaciones. Primero, utilizaron métodos en los que los expertos se han basado durante décadas para demostrar que ciertos tipos de mosaicos pueden crear mosaicos aperiódicos. Pero Myers también fue más allá de estos viejos métodos para crear una forma completamente nueva de demostrarlo, que también puede ser útil para otros mosaicos.

El método probado y verdadero se explica mejor utilizando el conjunto de seis mosaicos de Robinson de 1969. Las líneas naranja y verde dibujadas en los mosaicos de Robinson funcionan como los bordes coloreados en el ejemplo anterior de cuadrados infinitos. Aquí las reglas son igualmente simples: dos fichas de Robinson solo se pueden colocar una al lado de la otra si las líneas verde y naranja continúan sin problemas.

Seguir esta regla da como resultado un patrón reconocible que consta de cuadrados naranjas cada vez más grandes. Si continúa alejándose, los cuadrados continúan haciéndose más grandes y se cruzan entre sí. Esto construye una estructura jerárquica donde cada porción del mosaico tiene su lugar único. No puedes mover o intercambiar ninguna sección sin romper las reglas y destruir la estructura. Esto nos dice que la teselación debe ser aperiódica.

Kaplan, Goodman-Strauss y Myers pudieron mostrar algo similar para el mosaico de einstein en forma de sombrero propuesto por Smith. Para facilitar el trabajo con el mosaico, suavizaron los bordes escarpados del sombrero en formas más reconocibles y útiles: un solo mosaico de sombrero, por ejemplo, se puede aproximar con un triángulo. También usaron grupos de múltiples mosaicos de Einstein para crear diferentes formas. Podrían colocar cuatro fichas de sombrero en una estructura similar a un hexágono, dos fichas en un pentágono y otra combinación de dos fichas en un paralelogramo. Estas cuatro formas suavizadas, cada una de las cuales consistía solo en mosaicos de Einstein, podrían cubrir completamente el plano en un patrón.

Los matemáticos demostraron que este mosaico no contenía patrones repetitivos porque, al igual que el conjunto de seis mosaicos de Robinson, estas cuatro formas especiales formaban estructuras jerárquicas. Si organiza estos cuatro grupos de mosaicos de Einstein (hexágono, pentágono, paralelogramo y triángulo) juntos, inevitablemente crearán una versión más grande de una de esas mismas formas. Luego, si combina esas formas más grandes, creará versiones aún más grandes de esas formas, y así sucesivamente. Este proceso puede repetirse indefinidamente, dando una estructura jerárquica. Por lo tanto, el patrón general no se puede dividir en secciones que se repiten. Si simplemente deslizara partes del patrón a otro lugar, esa estructura general se rompería.

Esta prueba requirió algunos cálculos complejos, por lo que los tres científicos solicitaron la ayuda de una computadora. Lanzaron su prueba asistida por computadora libremente para que cualquiera pudiera verificarla en busca de errores.

Pero Myers aún no estaba satisfecho. Creó un nuevo método para probar la aperiodicidad que se podía realizar a mano, sin una computadora, mostrando que el sombrero de einstein está conectado con otras teselaciones conocidas que son más fáciles de estudiar. Estos mosaicos relacionados están hechos de formas llamadas polidiamantes, mosaicos simples formados por la combinación de triángulos equiláteros. Myers ajustó algunos de los bordes del sombrero einstein para formar dos arreglos de polidiamantes diferentes que siguen el mismo patrón de mosaico del sombrero: uno con forma de cheurón y el otro como un hexágono y un rombo juntos. A pesar de sus diferencias visuales, estos tres arreglos tienen las mismas propiedades. Si los matemáticos pudieron demostrar que las dos teselaciones de polidiamantes son aperiódicas, entonces la teselería original también debe ser aperiódica.

Afortunadamente, con polidiamantes, esa prueba es una cuestión de matemáticas básicas. Los matemáticos pueden representar las simetrías de los arreglos de poliiamante con una cantidad llamada vector de traslación. Si los dos nuevos arreglos contenían patrones repetitivos, la longitud de sus vectores de traducción debería haber estado relacionada entre sí; específicamente, su relación debería haber sido un número racional. Pero, en cambio, los vectores tenían una proporción de la raíz cuadrada de 2, definitivamente un número irracional, que mostraba que los arreglos de polidiamantes no eran periódicos. Por lo tanto, la teja del sombrero original era de hecho un einstein.

El nuevo método de prueba de Myers también podría ser útil para otros mosaicos, explican los científicos en su artículo. Pero por ahora, tanto los aficionados como los expertos están emocionados de tener el tan esperado mosaico de Einstein en la mano. Las posibilidades de decoración del hogar son literalmente infinitas. Como dijo el matemático Colin Adams del Williams College a New Scientist, "lo pondría en mi baño si lo estuviera colocando mosaicos en este momento".

Este artículo apareció originalmente en Spektrum der Wissenschaft y fue reproducido con permiso.

Manon Bischoff es físico teórico y editor de Spektrum, una publicación asociada de Scientific American. Crédito: Nick Higgins

Manon Bischoff

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